Cara Cari Akar Polimial

Kandungan

• Berapa Banyak Akar?
• Amaran
• Cari Akar oleh Pemalsuan: Contoh 1
• Cari Akar oleh Pemalsuan: Contoh 2
• Cari Akar oleh Graphing

Akar polinomial juga dipanggil sifarnya, kerana akarnya adalah x nilai di mana fungsi sama dengan sifar. Apabila ia datang untuk mencari akar, anda mempunyai banyak teknik yang anda perlukan; Pemfaktoran adalah kaedah yang anda gunakan paling kerap, walaupun grafik juga berguna.

Berapa Banyak Akar?

Perhatikan istilah gelaran tertinggi polinomial - iaitu, istilah dengan eksponen tertinggi. Eksponen itu adalah berapa banyak akar yang akan dimiliki oleh polinomial. Jadi jika eksponen tertinggi dalam polinomial anda adalah 2, ia akan mempunyai dua akar; jika eksponen tertinggi adalah 3, ia akan mempunyai tiga akar; dan sebagainya.

Amaran

Cari Akar oleh Pemalsuan: Contoh 1

Cara yang paling serba boleh untuk mencari akar adalah mengesahkan polinom anda sebanyak mungkin, dan kemudian menetapkan setiap istilah sama dengan sifar. Ini lebih masuk akal apabila anda mengikuti beberapa contoh. Pertimbangkan polinomial mudah x² - 4_x: _

Pemeriksaan ringkas menunjukkan bahawa anda boleh membuat faktor x daripada kedua-dua segi polinomial, yang memberikan anda:

x(x – 4)

Tetapkan setiap istilah kepada sifar. Ini bermakna penyelesaian untuk dua persamaan:

x = 0 adalah istilah pertama yang ditetapkan kepada sifar, dan

x - 4 = 0 adalah istilah kedua yang ditetapkan kepada sifar.

Anda sudah mempunyai penyelesaian untuk penggal pertama. Jika x = 0, maka keseluruhan ungkapan sama dengan sifar. Jadi x = 0 adalah salah satu akar, atau sifar, daripada polinomial.

Sekarang, pertimbangkan istilah kedua dan selesaikan x. Jika anda menambah 4 kepada kedua-dua pihak anda akan mempunyai:

x - 4 + 4 = 0 + 4, yang memudahkan:

x = 4. Jadi jika x = 4 maka faktor kedua bersamaan dengan sifar, yang bermaksud keseluruhan polinomial sama dengan sifar.

Kerana polinomial asal adalah darjah kedua (eksponen tertinggi adalah dua), anda tahu hanya terdapat dua akar yang mungkin untuk polinomial ini. Anda telah menemui mereka berdua, jadi apa yang perlu anda lakukan adalah menyenaraikan mereka:

x = 0, x = 4

Cari Akar oleh Pemalsuan: Contoh 2

Heres satu lagi contoh bagaimana mencari akar dengan pemfaktoran, menggunakan beberapa algebra mewah di sepanjang jalan. Pertimbangkan polinomial x⁴ - 16. Melihat pantas eksponennya menunjukkan bahawa ada empat akar untuk polinomial ini; sekarang waktunya untuk mencari mereka.

Adakah anda perasan bahawa polinomial ini boleh ditulis semula sebagai perbezaan petak? Jadi bukan x⁴ - 16, anda mempunyai:

(x²)² – 4²

Yang, dengan menggunakan formula untuk perbezaan kotak, faktor-faktor berikut:

(x² – 4)(x² + 4)

Istilah pertama adalah, sekali lagi, perbezaan petak. Oleh itu, walaupun anda tidak dapat menentukan istilah di sebelah kanan lagi, anda boleh memasukkan istilah di sebelah kiri satu langkah lagi:

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)

Kini waktunya untuk mencari sifar. Ia dengan cepat menjadi jelas bahawa jika x = 2, faktor pertama akan sama dengan sifar, dan oleh itu keseluruhan ungkapan akan sama dengan sifar.

Begitu juga, jika x = -2, faktor kedua akan sama dengan sifar dan oleh itu juga keseluruhan ungkapan.

Jadi x = 2 dan x = -2 adalah kedua-dua sifar, atau akar, polinomial ini.

Tapi bagaimana pula dengan istilah terakhir? Kerana ia mempunyai eksponen "2", ia sepatutnya mempunyai dua akar. Tetapi anda tidak boleh menggunakan ungkapan ini menggunakan nombor sebenar yang anda gunakan. Youd perlu menggunakan konsep matematik yang sangat maju yang dipanggil nombor khayalan atau, jika anda lebih suka, bilangan kompleks. Thats jauh melebihi skop latihan matematik semasa anda, jadi pada masa ini cukup mencatat bahawa anda mempunyai dua akar sebenar (2 dan -2), dan dua akar imajinasi yang anda akan tinggalkan tidak ditentukan.

Cari Akar oleh Graphing

Anda juga boleh mencari, atau sekurang-kurangnya menganggarkan, akar dengan grafik. Setiap akar mewakili tempat di mana graf fungsi melintasi x paksi. Jadi jika anda melukis garis dan kemudian perhatikan x koordinat di mana garis itu melintasi x paksi, anda boleh memasukkan anggaran x nilai mata tersebut ke persamaan anda dan semak untuk melihat jika anda mendapatnya betul.

Pertimbangkan contoh pertama yang anda buat, untuk polinomial x² - 4_x_. Sekiranya anda melukis dengan teliti, anda akan melihat garis itu melintasi x paksi di x = 0 dan x = 4. Jika anda memasukkan setiap nilai ini ke dalam persamaan asal, anda akan dapat:

0² - 4 (0) = 0, jadi x = 0 adalah sifar atau akar sah untuk polinomial ini.

4² - 4 (4) = 0, jadi x = 4 juga sifar atau akar sah untuk polinomial ini. Dan kerana polinomial darjah 2, anda tahu anda boleh berhenti mencari mencari dua akar.