Cara Memudahkan Nombor Kompleks

Kandungan

• TL; DR (Terlalu Panjang, Tidak Baca)
• Apakah Nombor Kompleks?
• Kaedah Asas Algebra dengan Nombor Kompleks
• Nombor Kompleks Pembahagian
• Memudahkan Nombor Kompleks

Algebra sering melibatkan penyederhanaan ungkapan, tetapi beberapa ungkapan lebih mengelirukan untuk ditangani daripada yang lain. Nombor kompleks melibatkan kuantiti yang dikenali sebagai i, nombor "khayalan" dengan harta itu i = √-1. Sekiranya anda hanya mempunyai ungkapan yang melibatkan nombor kompleks, ia mungkin kelihatan menakutkan, tetapi prosesnya agak mudah apabila anda mempelajari peraturan asas.

TL; DR (Terlalu Panjang, Tidak Baca)

Memudahkan nombor kompleks dengan mengikuti peraturan algebra dengan nombor kompleks.

Apakah Nombor Kompleks?

Nombor Kompleks didefinisikan oleh kemasukan mereka i istilah, yang merupakan punca kuasa minus satu. Dalam matematik peringkat asas, akar bilangan negatif nombor negatif tidak benar-benar wujud, tetapi mereka kadang-kadang muncul dalam masalah algebra. Bentuk umum untuk bilangan kompleks menunjukkan strukturnya:

z = a + bi

Di mana z label nombor kompleks, a mewakili mana-mana nombor (dipanggil bahagian "sebenar"), dan b mewakili nombor lain (dipanggil bahagian "khayalan"), kedua-duanya boleh positif atau negatif. Jadi contoh nombor kompleks ialah:

z = 2 -4_i_

Oleh kerana semua akar kuantiti nombor negatif boleh diwakili oleh gandaan i, ini adalah bentuk untuk semua nombor kompleks. Secara teknikal, nombor biasa hanya menggambarkan kes khas nombor kompleks di mana b = 0, jadi semua nombor boleh dianggap kompleks.

Kaedah Asas Algebra dengan Nombor Kompleks

Untuk menambah dan tolak nombor kompleks, hanya tambah atau tolak bahagian sebenar dan khayalan secara berasingan. Jadi untuk nombor kompleks z = 2 - 4_i_ dan w = 3 + 5_i_, jumlahnya ialah:

z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)i

= 5 + 1_i_ = 5 + i

Mengurangkan nombor berfungsi dengan cara yang sama:

z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)i

= -1 - 9_i_

Pendaraban adalah satu lagi operasi mudah dengan bilangan kompleks, kerana ia berfungsi seperti pendaraban biasa kecuali anda perlu mengingatnya i² = -1. Jadi untuk mengira 3_i_ × -4_i_:

3_i_ × -4_i_ = -12_i_²

Tetapi sejak itu i²= -1, maka:

-12_i_² = −12 ×−1 = 12

Dengan nombor kompleks penuh (menggunakan z = 2 - 4_i_ dan w = 3 + 5_i_ lagi), anda membiaknya dengan cara yang sama seperti biasa (a + b) (c + d), menggunakan kaedah "pertama, dalaman, luaran, terakhir" (FOIL), untuk memberi (a + b) (c + d) = ac + bc + iklan + bd. Apa yang anda perlu ingat adalah untuk mempermudahkan sebarang kejadian i². Jadi sebagai contoh:

z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (-4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (-4_i_ × 5_i_)

= 6 -12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 -2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

Nombor Kompleks Pembahagian

Membahagi nombor kompleks melibatkan mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan oleh konjugasi kompleks penyebut. Conjugate kompleks hanya bermaksud versi nombor kompleks dengan bahagian khayalan dibalikkan. Jadi untuk z = 2 - 4_i_, konjugat kompleks z = 2 + 4_i_, dan untuk w = 3 + 5_i_, w = 3 -5_i_. Untuk masalah ini:

z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

Konjugasi yang diperlukan adalah w*. Bahagikan pengangka dan penyebut dengan ini untuk memberi:

z / w = (2 - 4_i_) (3 -5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

Dan kemudian anda bekerja seperti di bahagian sebelumnya. Pengangka memberikan:

(2 - 4_i_) (3 -5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= -14 - 22_i_

Dan penyebutnya memberikan:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ -25_i_²

= 9 + 25 = 34

Ini bermaksud:

z / w = (-14 - 22_i_) / 34

= -14/34 - 22_i_ / 34

= -7/17 - 11_i_ / 17

Memudahkan Nombor Kompleks

Gunakan peraturan di atas seperti yang diperlukan untuk memudahkan ungkapan kompleks. Sebagai contoh:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - i)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ i))

Ini boleh dipermudahkan dengan menggunakan peraturan tambahan dalam pengangka, peraturan pendaraban dalam penyebut, dan kemudian menyelesaikan pembahagian. Untuk pengangka:

(4 + 2_i_) + (2 - i) = 6 + i

Untuk penyebut:

(2 + 2_i _) (2+ i) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

Meletakkannya kembali ke tempatnya memberi:

z = (6 + i) / (2 + 6_i_)

Mengalikan kedua-dua bahagian dengan konjugasi penyebut tersebut membawa kepada:

z = (6 + i) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ -6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ -36_i_²)

= (18 - 34_i_) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 -17_i_ / 20

Jadi ini bermakna z menyederhanakan seperti berikut:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - i)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ i)) = 9/20 -17_i_ / 20