Bagaimana Mengira Nilai Eigen

Kandungan

• Matriks, Nilai Eigen dan Eigenvectors: Apa Yang Mereka Minati
• Bagaimana Mengira Nilai Eigen
• Petua
• Mencari eigenvectors

Apabila anda dibentangkan dengan matriks dalam kelas matematik atau fizik, anda akan sering diminta untuk mencari nilai eigennya. Jika anda tidak pasti apa maksudnya atau bagaimana untuk melakukannya, tugas itu menakutkan, dan ia melibatkan banyak istilah yang mengelirukan yang menjadikan perkara lebih buruk. Walau bagaimanapun, proses mengira nilai eigen tidak terlalu mencabar jika anda selesa dengan menyelesaikan persamaan kuadratik (atau polinomial), dengan syarat anda mempelajari asas-asas matriks, nilai eigen dan eigenvectors.

Matriks, Nilai Eigen dan Eigenvectors: Apa Yang Mereka Minati

Matriks adalah tatasusunan nombor di mana A berdiri untuk nama matriks generik, seperti ini:

( 1 3 )

A = ( 4 2 )

Angka-angka dalam setiap kedudukan berbeza-beza, dan mungkin terdapat ekspresi algebra di tempat mereka. Ini adalah matriks 2 × 2, tetapi mereka datang dalam pelbagai saiz dan tidak selalu mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama.

Berurusan dengan matriks berbeza daripada berurusan dengan nombor biasa, dan terdapat peraturan khusus untuk mendarab, membahagikan, menambah dan menolaknya daripada satu sama lain. Istilah "eigenvalue" dan "eigenvector" digunakan dalam algebra matriks untuk merujuk kepada dua kuantiti ciri yang berkaitan dengan matriks. Masalah eigenvalue ini membantu anda memahami maksudnya:

A ∙ v = λ ∙ v

A adalah matriks umum seperti dahulu, v adalah beberapa vektor, dan λ adalah nilai ciri. Lihat persamaan dan perhatikan bahawa apabila anda membiak matriks dengan vektor v, kesannya ialah untuk menghasilkan semula vektor yang sama hanya didarabkan dengan nilai λ. Ini adalah tingkah laku yang luar biasa dan mendapat vektor v dan kuantiti λ nama khas: eigenvector dan eigenvalue. Ini adalah nilai-nilai ciri matriks kerana mendarabkan matriks oleh vektor eigen meninggalkan vektor tidak berubah selain pendaraban dengan faktor nilai eigen.

Bagaimana Mengira Nilai Eigen

Sekiranya anda mempunyai masalah nilai eigen bagi matriks dalam beberapa bentuk, mencari nilai eigen adalah mudah (kerana hasilnya akan menjadi vektor sama dengan yang asal kecuali dikalikan dengan faktor yang berterusan - nilai eigen). Jawapannya dijumpai dengan menyelesaikan persamaan ciri matriks:

det (A – λSaya) = 0

Di mana Saya adalah matriks identiti, yang kosong selain daripada siri 1s yang berjalan diagonal ke bawah matriks. "Det" merujuk kepada penentu matriks, yang untuk matriks umum:

(a)

A = (c d)

Diberi oleh

det A = ad -bc

Jadi persamaan ciri bermakna:

(a - λ b)

det (A – λSaya) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Sebagai contoh matriks, mari kita tentukan A sebagai:

( 0 1 )

A = (−2 −3 )

Jadi itu bermakna:

det (A – λSaya) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

Penyelesaian untuk λ adalah nilai eigen, dan anda menyelesaikannya seperti mana-mana persamaan kuadratik. Penyelesaiannya adalah λ = - 1 dan λ = - 2.

Petua

Mencari eigenvectors

Mencari vektor eigen adalah proses yang sama. Menggunakan persamaan:

(A – λ) ∙ v = 0

dengan setiap nilai eigen yang anda dapati pada gilirannya. Ini bermaksud:

(a - λ b) (v₁ ) (a - λ) v₁ + b v₂ (0)

(A – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d - λ) v₂ = (0)

Anda boleh menyelesaikannya dengan mempertimbangkan setiap baris seterusnya. Anda hanya perlu nisbah v₁ kepada v₂, kerana akan ada banyak penyelesaian yang berpotensi untuk v₁ dan v₂.